使用 LaTex 撰写数学公式

LaTex 是一种是一种基于 TeX 的排版系统。该系统由美国计算机科学家莱斯利·兰伯特在20世纪80年代初期开发。对于生成复杂的表格、公式、化学式等,该系统的优势尤为突出。因此在学术论文或书籍的出版行业,LaTex 是最常用的排版方案之一。

数学公式的排版是其拿手好戏,限于篇幅,本文只总结使用 LaTex 语言撰写数据公式的部分。如果你希望从头开始学习 LaTex,建议查看其文档其他组织撰写的教程

基础知识

使用LaTex 排版的公式大体分为两种:随段落一起排版的,夹在行内的公式;和单独成行,独立的展开公式。类似与 HTML,这两种方式都使用开始、结束的标记来声明。而对于其内容,将忽略其中的空白并进行自动编排。

行内数学公式的标记方法有三种:

  • $Formula$:这是最常用的标记方式,某些较高级的 Markdown 解析器也支持这种标记方法,例如前文曾提到过的 Pandoc
  • \begin{math}Formula\end{math}:对待非常长的数学公式,这种显式声明的方式更清晰。
  • \(Formula\):该方式是上一种方式的省略写法。

展开公式的标记方法为:

  • \[Formula\]:最常用的方式,该方式不会为公式编号。
  • \begin{displaymath}Formula\end{displaymath}:显示声明的方式,在编写长公式时较清晰,该方式也不会为公式编号。
  • \begin{equation}Formula\end{equation}:另一种显示声明的方式,该方式将自动为公式编号。

需要注意的是,在 LaTex 中,并没有完整的定义使用 “\$\$” 来标记展开公式的用法。但很多编辑器亦支持这种写法。使用该方法之前需记得首先对编辑器进行测试。

符号规则

指数和下标

指数和下标分别可以用符号 ^_ 后加相应字符来实现。比如,对于勾股定理,可以写作为:

1
a^2 + b^2 = c^2

开方符号

平方根符号使用 \sqrt{a} 来表示,对于 n 次方根,其对应的表示方式为:\sqrt[n]{a}。示例,使用如下方式表示的向量 (x, y) 至原点的距离:

1
f(x) = \sqrt{x^2 + y^2}

分式

如果要用分子分母上下排版的方式表示分数,可以使用 \frac{a}{b} 的形式。因此可以用如下方式显示一元二次方程的求根公式:

1
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

水平线,向量

有时候你可能希望在公式上方或下方添加水平线,或者添加用于表示矢量的箭头标志。它们分别可以使用 \overline\underline\vec 表示。因此你可以用如下的方式来表示牛顿第二定律:

1
\vec{F} = m \cdot \vec{a}

积分、求和与乘积

积分、求和与乘积运算符也是常用的数学符号,它们分别使用 \inf\sum\prod 表示。其中积分的上下限使用 ^_ 来表示,类似于之前提到的上下标。示例,你可以以如下方式表示一个定积分:

1
\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = 2

字体与字号

字体

在某些情况下,你可能希望自定义公式的字体,以表达某些特殊含义。你可以用下面的几种标记来更改公式的字体:

  • \mathrm:标准字体;
  • \mathtt:较纤细的字体;
  • \mathbf:粗体;
  • \mathsf:无衬线体;
  • \mathit:斜体;
  • \mathcal:花体字。

字号

在某些分式中,默认的字号可能很小以至于难以阅读,你可以使用如下的几个标记来调节公式的字号:

  • \displaystyle:展开公式的标准字号大小;
  • \textstyle:行内公式的标准字号大小;
  • \scriptstyle:第一层上下标字体的大小;
  • \scriptscriptstyle:第二层上下标的字号大小。

附录

特殊函数

我们还可能需要用到一些常见的函数,LaTex 内置了常用的 32 种函数的表示方法:

表示 效果
\arccos(x) $\arccos(x)$
\arcsin(x) $\arcsin(x)$
\arctan(x) $\arctan(x)$
\arg(x) $\arg(x)$
\cos(x) $\cos(x)$
\cosh(x) $\cosh(x)$
\cot(x) $\cot(x)$
\coth(x) $\coth(x)$
\csc(x) $\csc(x)$
\deg(x) $\deg(x)$
\det(x) $\det(x)$
\dim(x) $\dim(x)$
\exp(x) $\exp(x)$
\gcd(x) $\gcd(x)$
\hom(x) $\hom(x)$
\inf(x) $\inf(x)$
\ker(x) $\ker(x)$
\lg(x) $\lg(x)$
\lim(x) $\lim(x)$
\liminf(x) $\liminf(x)$
\limsup(x) $\limsup(x)$
\ln(x) $\ln(x)$
\log(x) $\log(x)$
\max(x, y) $\max(x, y)$
\min(x, y) $\min(x, y)$
\Pr(x) $\Pr(x)$
\sec(x) $\sec(x)$
\sin(x) $\sin(x)$
\sinh(x) $\sinh(x)$
\sup(x) $\sup(x)$
\tan(x) $\tan(x)$
\tanh(x) $\tanh(x)$

小写希腊字母

表示 效果
\alpha $\alpha$
\beta $\beta$
\gamma $\gamma$
\delta $\delta$
\epsilon $\epsilon$
\varepsilon $\varepsilon$
\zeta $\zeta$
\eta $\eta$
\theta $\theta$
\vartheta $\vartheta$
\iota $\iota$
\kappa $\kappa$
\lambda $\lambda$
\mu $\mu$
\nu $\nu$
\xi $\xi$
o $o$
\pi $\pi$
\varpi $\varpi$
\rho $\rho$
\varrho $\varrho$
\sigma $\sigma$
\varsigma $\varsigma$
\tau $\tau$
\upsilon $\upsilon$
\phi $\phi$
\varphi $\varphi$
\chi $\chi$
\psi $\psi$
\omega $\omega$

大写希腊字母

表示 效果
\Gamma $\Gamma$
\Delta $\Delta$
\Theta $\Theta$
\Lambda $\Lambda$
\Xi $\Xi$
\Pi $\Pi$
\Sigma $\Sigma$
\Upsilon $\Upsilon$
\Phi $\Phi$
\Psi $\Psi$
\Omega $\Omega$

关系运算符

表示 效果
< $<$
> $>$
= $=$
\le $\le$
\ge $\ge$
\equiv $\equiv$
\ll $\ll$
\gg $\gg$
\subset $\subset$
\supset $\supset$
\approx $\approx$
\subseteq $\subseteq$
\supseteq $\supseteq$
\in $\in$
\ni $\ni$
\propto $\propto$
\mid $\mid$
\parallel $\parallel$
\perp $\perp$
\notin $\notin$
\ne $\ne$
: $:$

数学运算符

表示 效果
+ $+$
- $-$
\pm $\pm$
\mp $\mp$
\times $\times$
\cdot $\cdot$
\ast $\ast$
\div $\div$
\cap $\cap$
\cup $\cup$
\setminus $\setminus$
\star $\star$
\circ $\circ$
\diamond $\diamond$
\bullet $\bullet$
\oplus $\oplus$
\ominus $\ominus$
\odot $\odot$
\otimes $\otimes$

补充

实际上 LaTex 内置的符号远不止这些,但这里不再给出列表。有需求的读者请查阅其文档

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